Rebound

Do your best, and you'll get what is best for you

Archive for the ‘math’ Category

an attempt to answer “if everything has been written down, so why worry?”

leave a comment »

Banyaaaaaaak (SERING) sekali kutipan tersebut ditulis
lagi dan lagi

Dan aku pun mulai muak karena jujur saja aku tak setuju dengan bagian ‘everything‘.

if everything has been written down, so why worry?                 (original quotation)

Hingga malam ini, aku mencoba untuk meresapi maknanya,
Atau setidaknya memaknainya jikalau ternyata kata-kata itu tak bermakna.

Aku perhatikan mereka

Yang menulisnya,
Yang mendendangkannya,
Yang menjadikan itu judul post di blog-nya
Yang juga mencoba memaknainya

Hampir semuanya,
Bahkan aku belum mendapatkan penyangkal dari ‘semuanya’ agar aku layak menggunakan kata ‘hampir’

Semua orang2 itu

Baru saja dirundung derita
Over-expectating dan lalu kecewa
Dan sejenisnya

dan lalu merasa worry
dan ingin mencari pembenaran bahwa sesungguhnya mereka tidak perlu worry

Well, tampaknya aku gagal memahami maknanya

Baiklah, akan kucoba memberinya makna

Aku mulai dari kata pertama :

if

Melihat kata2 yang mengikutinya tidak mendukung untuk terbentuknya suatu pernyataan, maka aku menafsirkan bentuk yang ingin dinyatakan oleh orang2 itu adalah

if everything has been written down, then worry is needless                 (rephrased)

Hal pertama yang menjadi sasaran tembak di pikiranku adalah konsep logika, dimana pernyataan ‘if P then Q‘ selalu bernilai benar,
Jika P selalu bernilai SALAH.

Ooooh.. Maka bisa jadi ketidaksetujuanku pada ‘everything‘ sudah pada tempatnya,
Dimana jika ‘everthing has been written down‘ adalah suatu pernyataan yang salah, maka semua kemunculan itu adalah benar,
Dan (yang semoga) bentuk rephrased adalah bentuk yang ekuivalen dgn original quotation, maka semua kemunculannya adalah benar,
Sehingga boleh2 saja orang2 itu menuliskannya atau mendendangkannya,
Dan hanyalah rasa muakkulah yang tidak sepantasnya ada

Argumen diatas bertahan hingga aku membaca kutipan berikut

The pen has been lifted, the paper has been dried

Sekejab, segalanya nampak jelas kepadaku
Jawaban dari kata tanya ‘why‘ pada bentuk kutipan mula2
Tak perlu upaya menuliskan kembali
Tak perlu hukum2 logika
Jawabannya sederhana, sangat sederhana hingga aku tak mampu menyadarinya lebih cepat

Entah jawaban ini benar atau tidak, hanya Tuhan yang tahu

Aku hanya berharap, jawaban yang kuberikan ini bisa menjadi sedikit penghibur bagi mereka
Sehingga mereka tidak lagi menanyakan hal yang sama

if everything has been written down, so why worry?

Because
it (the worrying, done by you)
has been written
as well

Wallahu a’lam bishawab

Written by fusuysamid

27 September, 2010 at 10:08 pm

Adri-Plekenyet Inequality

with 4 comments

Misalkan {x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} adalah bilangan-bilangan real positif, buktikan bahwa

\displaystyle  \sum_{1\leq i<j\leq n}\left( \sqrt{x_{i}}-\sqrt{x_{j}}\right)^{2}\geq \sum x_{i}-n\sqrt[n]{\prod x_{i}} \ \ \ \ \ (1)

WLOG, {x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}}. Definisikan

\displaystyle  g_{k}=\sqrt[k]{x_{1}x_{2}\cdots x_{k}}

Pertama-tama kita akan membuktikan dua buah lemma sebagai berikut

Lemma 1 Untuk {1\leq k\leq n-1}, berlaku

\displaystyle  \sum_{i=1}^{k}\left( \sqrt{x_{i}}-\sqrt{x_{k+1}}\right) ^{2}\geq k\left( \sqrt{g_{k}}-\sqrt{x_{k+1}}\right) ^{2} \ \ \ \ \ (2)

Proof: Perhatikan fungsi {f\left( x\right) =\left( \sqrt{e^{x}}-\sqrt{c}\right) ^{2} }, dimana {c} suatu konstanta yang memenuhi {e^{x}\geq c} untuk semua {x } dalam domain. Kita punya {f^{\prime \prime }\left( x\right) =\sqrt{e^{x}} \left( \sqrt{e^{x}}-\frac{1}{2}\sqrt{c}\right) >0}. Karenanya kita punya { f\left( x\right) } konveks. Misalkan untuk {1\leq i\leq k}, {x_{i}=e^{a_{i}}} , maka dengan mengambil {\ c=x_{k+1}} kita dapatkan {e^{a_{i}}\geq c}. Maka dengan sifat konveksitas fungsi kita punya

\displaystyle  f\left( a_{1}\right) +f\left( a_{2}\right) +\cdots f\left( a_{k}\right) \geq kf\left( \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}}{k}\right)

yang ekuivalen dengan ketaksamaan pada lemma. \Box

Lemma 2 Untuk {1\leq k\leq n-1}, berlaku

\displaystyle  \left( k+1\right) g_{k+1}-kg_{k}\geq x_{k+1}-k\left( \sqrt{g_{k}}-\sqrt{ x_{k+1}}\right) ^{2} \ \ \ \ \ (3)

Proof: Perhatikan bahwa ketaksamaan tersebut dapat dituliskan sebagai

\displaystyle  \frac{\left( k+1\right) g_{k+1}+\left( k-1\right) x_{k+1}}{2k}\geq \sqrt{ g_{k}x_{k+1}}

dimana dengan pertidaksamaan Am-Gm, kita punya

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \frac{\left( k+1\right) g_{k+1}+\left( k-1\right) x_{k+1}}{2k} &\geq &\sqrt[ 2k]{g_{k+1}^{k+1}.x_{k+1}^{k-1}} \\ &=&\sqrt[2k]{x_{1}x_{2}\cdots x_{k}x_{k+1}^{k}} \\ &=&\sqrt[2k]{g_{k}^{k}x_{k+1}^{k}} \\ &=&\sqrt{g_{k}x_{k+1}} \end{array}

\Box

Menggabungkan dua lemma di atas, kita punya

\displaystyle  \left( k+1\right) g_{k+1}-kg_{k}\geq x_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\left( \sqrt{x_{i} }-\sqrt{x_{k+1}}\right) ^{2} \ \ \ \ \ (4)

sehingga kita punya

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  n\sqrt[n]{\prod x_{i}} &=&ng_{n} \\ &=&x_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \left( k+1\right) g_{k+1}-kg_{k}\right) \\ &\geq &x_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left( x_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\left( \sqrt{x_{i}} -\sqrt{x_{k+1}}\right) ^{2}\right) \\ &=&\sum x_{i}-\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{k}\left( \sqrt{x_{i}}-\sqrt{x_{k+1} }\right) ^{2} \\ &=&\sum x_{i}-\sum_{1\leq i<j\leq n}\left( \sqrt{x_{i}}-\sqrt{x_{j}}\right) ^{2} \end{array}

yang merupakan pertidaksamaan yang ingin dibuktikan. Selanjutnya, misalkan { a_{i}=\sqrt{x_{i}}}, maka ketaksamaan di atas dapat dituliskan sebagai

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \sum_{1\leq i<j\leq n}\left( a_{i}-a_{j}\right) ^{2} &\geq &\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}\right) -n\sqrt[n]{\left( a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right) ^{2}} \\ \left( n-1\right) \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}\right) +n\sqrt [n]{\left( a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right) ^{2}} &\geq &\left( a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right) ^{2} \end{array}

Misalkan {c_{i}^{n}=a_{i}^{2}}, maka ketaksamaan tersebut dapat dituliskan sebagai

\displaystyle  \left( n-1\right) \left( c_{1}^{n}+c_{2}^{n}+\cdots +c_{n}^{n}\right) +nc_{1}c_{2}\cdots c_{n}\geq \left( \sqrt{c_{1}^{n}}+\sqrt{c_{2}^{n}}+\cdots +\sqrt{c_{n}^{n}}\right) ^{2}  \ \ \ \ \ (5)

Pertidaksamaan 5 dapat dibuktikan menggunakan ketaksamaan yang lebih tajam sebagai berikut :

\displaystyle  \left( n-1\right) \left( c_{1}^{n}+c_{2}^{n}+\cdots +c_{n}^{n}\right) +nc_{1}c_{2}\cdots c_{n}\geq \left( c_{1}+c_{2}+\cdots +c_{n}\right) \left( c_{1}^{n-1}+c_{2}^{n-1}+\cdots +c_{n}^{n-1}\right)  \ \ \ \ \ (6)

Berikutnya kita akan membuktikan pertidaksamaan 6 dengan menggunakan induksi. Sebagai basis induksi, perhatikan bahwa saat {n=2}, kesamaan terjadi. Lebih lanjut dapat dilihat bahwa kasus saat {n=3} adalah pertidaksamaan Schur {\sum x_{1}\left( x_{1}-x_{2}\right) \left( x_{1}-x_{3}\right) \geq 0}. Berikutnya akan dibuktikan dengan tahapan induksi, dari asumsi pertidaksamaan berlaku untuk {n} dan asumsi tersebut akan digunakan untuk menunjukkan bahwa pertidaksamaan juga berlaku untuk { n+1 }. Dalam tahapan induksi ini, WLOG {c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{n}\geq c_{n+1}=1}.

Dengan asumsi induksi, kita punya

\displaystyle  nc_{1}c_{2}\cdots c_{n}\geq \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}^{n-1}\right) -\left( n-1\right) \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}^{n}\right)  \ \ \ \ \ (7)

sehingga kita tinggal menunjukkan bahwa

\displaystyle  \left( n+1\right) c_{n+1}\left( \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}^{n-1}\right) -\left( n-1\right) \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}^{n}\right) \right) \geq n\left( \left( \sum_{i=1}^{n+1}c_{i}\right) \left( \sum_{i=1}^{n+1}c_{i}^{n}\right) -n\left( \sum_{i=1}^{n+1}c_{i}^{n+1}\right) \right)  \ \ \ \ \ (8)

dimana jika pertidaksamaan 8 di atas telah terbukti, maka dengan mengalikan kedua ruas pada 7 dengan {\frac{\left( n+1\right) }{n} c_{n+1}}, kita punya

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \left( n+1\right) c_{1}c_{2}\cdots c_{n}c_{n+1} &\geq &\frac{\left( n+1\right) }{n}c_{n+1}\left( \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}^{n-1}\right) -\left( n-1\right) \left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}^{n}\right) \right) \\ &\geq &\left( \sum_{i=1}^{n+1}c_{i}\right) \left( \sum_{i=1}^{n+1}c_{i}^{n}\right) -n\left( \sum_{i=1}^{n+1}c_{i}^{n+1}\right) \end{array}

yang merupakan bentuk pertidaksamaan untuk {n+1}.

Memisalkan {x_{i}=c_{i}-1} untuk {1\leq i\leq n} dan {S_{k}=\sum_{i=1}^{n} \left( x_{i}+1\right) ^{k}} kita dapatkan bentuk 8 ekuivalen dengan

\displaystyle  \left( n+1\right) \left( \left( S_{1}\right) \left( S_{n-1}\right) -\left( n-1\right) \left( S_{n}\right) \right) \geq n\left( \left( 1+S_{1}\right) \left( 1+S_{n}\right) -n\left( 1+S_{n+1}\right) \right)  \ \ \ \ \ (9)

Perhatikan bahwa

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  S_{k} &=&\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}+1\right) ^{k} \\ &=&\sum_{i=1}^{n}\left( 1+\sum_{j=1}^{k}\dbinom{k}{j}x_{i}^{j}\right) \\ &=&n+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\dbinom{k}{j}x_{i}^{j} \end{array}

Sehingga ekspresi 9 dapat ditulis sebagai

\displaystyle  \left( n+1\right) \left( \left( n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( n+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n-1}\dbinom{n-1}{j}x_{i}^{j}\right) -\left( n-1\right) \left( n+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\dbinom{n}{j} x_{i}^{j}\right) \right) \geq n\left( \left( 1+n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( 1+n+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\dbinom{n}{j}x_{i}^{j}\right) -n\left( 1+n+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n+1}\dbinom{n+1}{j}x_{i}^{j}\right) \right)

Menyederhanakan, didapat ketaksamaan 9 ekuivalen dengan

\displaystyle  \left( n^{2}+n\right) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n-1}\dbinom{n-1}{j} x_{i}^{j}+n^{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n+1}\dbinom{n+1}{j}x_{i}^{j}-\left( 2n^{2}+n-1\right) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\dbinom{n}{j}x_{i}^{j}\geq \sum_{i=1}^{n}x_{i}\left( n\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\dbinom{n}{j} x_{i}^{j}-\left( n+1\right) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n-1}\dbinom{n-1}{j} x_{i}^{j}\right)  \ \ \ \ \ (10)

Sekarang kita melihat besarnya koefisien dari {x_{i}^{j}} pada kedua ruas, dimana {x_{i}^{j}} di sini hanya mencakup suku-suku {x_{i}} yang tidak bercampur dengan {x_{j}} {\left( j\neq i\right) }. Untuk ruas kiri, semua suku tidak ada yang bercampur antar variabel, dan besar koefisien untuk { x_{i}^{j}}, {1\leq j\leq n-1}adalah

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \left( n^{2}+n\right) \dbinom{n-1}{j}+n^{2}\dbinom{n+1}{j}-\left( 2n^{2}+n-1\right) \dbinom{n}{j} &=&\left( n^{2}+n+n^{2}\left( \frac{n+1}{ n+1-j}\right) \left( \frac{n}{n-j}\right) -\left( 2n^{2}+n-1\right) \left( \frac{n}{n-j}\right) \right) \dbinom{n-1}{j} \\ &=&\left( \frac{n\left( j-1\right) ^{2}\left( n+1\right) }{\left( j-n-1\right) \left( j-n\right) }\right) \dbinom{n-1}{j} \end{array}

dimana ekspresi ini bernilai 0 jika {j=1}.

Sedangkan untuk {j=n}, besar koefisiennya adalah

\displaystyle  n^{2}\dbinom{n+1}{n}-\left( 2n^{2}+n-1\right) \dbinom{n}{n}=\left( n+1\right) \left( n-1\right) ^{2}

dan untuk {j=n+1}, besar koefisiennya adalah

\displaystyle  n^{2}

Sedangkan untuk ruas kanan, pada faktor yang kedua (selain { \sum_{i=1}^{n}x_{i}}), besar koefisien untuk {x_{i}^{j}}, {1\leq j\leq n-1} adalah

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  n\dbinom{n}{j}-\left( n+1\right) \dbinom{n-1}{j} &=&\left( \frac{j+\left( j-1\right) n}{n-j}\right) \dbinom{n-1}{j} \\ &>&0 \end{array}

dan untuk {j=n}, besar koefisiennya adalah

\displaystyle  n

Jadi 10 dapat ditulis ulang (dengan mengumpulkan suku-suku berderajat sama) sebagai berikut

\displaystyle  \sum_{j=2}^{n-1}\left( \frac{n\left( j-1\right) ^{2}\left( n+1\right) }{ \left( j-n-1\right) \left( j-n\right) }\right) \dbinom{n-1}{j} \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j}+\left( n+1\right) \left( n-1\right) ^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}+n^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n+1}\geq \sum_{i=1}^{n}x_{i}\left( \sum_{j=1}^{n-1}\left( \left( \frac{j+\left( j-1\right) n}{n-j}\right) \dbinom{n-1}{j}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j}\right) +n\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}\right)  \ \ \ \ \ (11)

Dengan ketaksamaan Chebyshev, kita punya

\displaystyle  n\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j+1}\geq \left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j}\right)

sehingga kita punya

\displaystyle  \sum_{j=1}^{n-1}n\left( \frac{j+\left( j-1\right) n}{n-j}\right) \dbinom{n-1 }{j}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j+1}\geq \sum_{j=1}^{n-1}\left( \left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \left( \frac{j+\left( j-1\right) n}{n-j} \right) \dbinom{n-1}{j}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j}\right) \right)

dan

\displaystyle  n^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n+1}\geq \left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( n\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}\right)

sehingga ruas kanan pada 11 adalah tidak lebih besar dari

\displaystyle  \sum_{j=1}^{n-1}n\left( \frac{j+\left( j-1\right) n}{n-j}\right) \dbinom{n-1 }{j}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j+1}+n^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n+1}  \ \ \ \ \ (12)

Jadi kita tinggal membuktikan bahwa ruas kiri pada 11 lebih besar atau sama dengan 12, yaitu

\displaystyle  \sum_{j=2}^{n-1}\left( \frac{n\left( j-1\right) ^{2}\left( n+1\right) }{ \left( n-j+1\right) \left( n-j\right) }\right) \dbinom{n-1}{j} \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j}+\left( n+1\right) \left( n-1\right) ^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}\geq \sum_{j=1}^{n-1}n\left( \frac{j+\left( j-1\right) n}{n-j}\right) \dbinom{n-1}{j}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j+1}  \ \ \ \ \ (13)

yang ekuivalen dengan

\displaystyle  \sum_{j=2}^{n-1}\dbinom{n}{j}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{j}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n} \geq 0

yang jelas benar karena {x_{i}} adalah bilangan non-negatif.

Written by fusuysamid

30 August, 2010 at 3:53 pm

Posted in math, questioning

latex2wp example :)

leave a comment »

This document is generated by latex2wp application you can download here.

Look at the document source to see how to strike out text, how to use different colors, and how to link to URLs with snapshot preview and how to link to URLs without snapshot preview.

There is a command which is ignored by pdflatex and which defines where to cut the post in the version displayed on the main page Read the rest of this entry »

Written by fusuysamid

30 August, 2010 at 11:36 am

Posted in math

Hasil jalan-jalan pelatihan menuju OSP

leave a comment »

Jadi intinya saat pembinaan olimpiade matematika oleh Centrion di SMA 8 Jakarta, SMA Al-Azhar Jakarta dan Pemerintah Kabupaten Sumbawa, saya cuma bikin 3 set soal. Soal-soal tersebut hasil kompilasi dari AMC 12 dan AIME, diambil dari beberapa tahun berbeda. Ketiga set soal itu digunakan sebagai soal tes di tiga tempat itu. Yaa itung-itung sekalian hemat soal (gak usah ngobral soal), sekaligus bisa jadi alat ukur perbandingan, kan soal yang dipake sama (lebih dari sekadar memiliki tingkat kesulitan yang sama).

Set soal 1 dapat diunduh di tes1. Solusinya sini. Set soal ini digunakan sebagai tes awal di SMA 8 Jakarta, Mid-test di Sumbawa, dan Final (and only) Test di Al-Azhar.

Set soal 2 dapat diunduh di Tes2, dan solusinya Solusi Tes2. Set soal ini digunakan sebagai Mid-Test di SMA 8 Jakarta.

Written by fusuysamid

30 May, 2010 at 7:19 pm

Posted in around the world, math

SMAN 1 Depok, Prov 2010

leave a comment »

Solusi tes simulasi OSN Provinsi 25 April 2010 dapat diunduh di sini. Disesuaikan dengan kunci jawaban, maka Adhika mendapatkan nilai 11 {01110100000111011011} dan Jonathan mendapatkan nilai 6 {10100000000110100010}.

Untuk Adhika, jawaban essay nomor 2 telah mendekati kebenaran. Hanya saja ada dua kesalahan yang masih harus diperhatikan. Kesalahan tersebut adalah penggunaan tanda > dimana seharusnya digunakan tanda = pada baris kedua dan baris ketiga pengerjaan. Namun hal ini hanyalah kesalahan minor, sehingga saya tetap memberi nilai sempurna untuk pembuktian ini.

Sedangkan untuk jawaban essay nomor 5, sayangnya dimulai dengan pernyataan yang salah, yaitu “maka m pasti kelipatan 7″. Bukankah pada akhir proses pengerjaan, didapatkan salah satu solusi untuk (m,n) adalah (8,-1)? Padahal tanpa menggunakan asumsi tersebut, bentuk

\frac{n^2+7}{3+2n}=m

sudah cukup untuk melanjutkan pengerjaan hingga didapatkan bentuk

4m=2n-3+\frac{37}{3+2n}

yang dapat dilanjutkan untuk mendapatkan kemungkinan nilai n. Secara keseluruhan, saya hanya memberi nilai 1 untuk pembuktian ini. Jadi Adhika mendapatkan nilai total 19 dari nilai maksimal 55.

Written by fusuysamid

28 April, 2010 at 2:15 pm

Posted in math

Soal : Tes Akhir pelatihan Olimpiade Matematika, Depok, 4-5 April 2009

leave a comment »

Tes bisa diunduh. Semoga bermanfaat.

Written by fusuysamid

8 April, 2009 at 5:52 pm

Posted in math

Solusi Tes Akhir pelatihan Olimpiade Matematika, Depok, 4-5 April 2009

leave a comment »

1. A

2. D

3. 3

4. C. Satu orang dari kalian menjawab 42, bukankah 42 tidak habis dibagi 4?

5. C. Hasil kali itu adalah \left( 1+\frac{1}{9}\right) \left( 2+\frac{2}{3}\right) \left( 5+\frac{3}{5}\right) =\allowbreak 16.\,\allowbreak 593. Jadi 17 lebih dekat ke hasil kali itu dibandingkan 16. Hanya dua peserta yang menjawab dengan benar.

6. [by Kemal, nyatakan A,B,C sebagai titik pusat koin-koin]. Perhatikan bahwa \triangle ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi adalah \pi . Keliling daerah yang diarsir sama dengan 3 kali keliling \frac{1}{6} lingkaran, yaitu

3\left( \frac{1}{6}\pi d\right) =\frac{1}{2}\pi \pi =\frac{1}{2}\pi ^{2}

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas \triangle ABC dikurangi 3 kali luas \frac{1}{6} lingkaran. Yaitu

\left[ ABC\right] =\frac{1}{2}\pi ^{2}\sin 60=\frac{1}{2}\pi ^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi ^{2}\sqrt{3}}{4}

\mathrm{3xLuas }\frac{1}{6}\mathrm{\ lingkaran }=3\left( \frac{1}{6}\pi r^{2}\right) \\=\frac{1}{2}\pi \left( \frac{1}{2}\pi \right) ^{2}\\=\frac{\pi ^{3}}{8}

Maka luas daerahnya adalah \frac{\pi ^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi ^{3}}{8}=\allowbreak \frac{\pi ^{2}}{8}\left( 2\sqrt{3}-\pi \right) \square

Hanya satu peserta yang menjawab dengan benar. Why? Kebanyakan kesalahan utama dari peserta lainnya adalah kurang teliti dalam melakukan perhitungan. Mari kita lihat 3 bentuk jawaban (yang mendekati jawaban yang benar) yang muncul dalam menyatakan luas daerah yang dimaksud. Jawaban-jawaban berikut saya ubah ke bentuk yang ekuivalen untuk menunjukkan dimana kesalahan hitung yang penjawab lakukan.

\frac{\pi ^{2}}{8}\left( 2\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}\right) \\\frac{\pi ^{2}}{8}\left( 2\sqrt{3}-1\right) \\\frac{\pi ^{2}}{8}\left( 4\sqrt{3}-\pi \right)

7. A. Misalkan a^{3}=7 dan b^{3}=8. Maka kita akan mencari tanda dari \sqrt[3]{4\left( a^{3}+b^{3}\right) }-a-b. Perhatikan bahwa

\sqrt[3]{4\left( a^{3}+b^{3}\right) }-a-b>0

ekuivalen dengan

\left( a+b\right) (a-b)^{2}>0

dan mudah untuk melihat bahwa ekspresi terakhir ini benar karena a dan b
positif. Jadi \sqrt[3]{4\left( a^{3}+b^{3}\right) }-a-b>0, yang berarti \sqrt[3]{60}-\sqrt[3]{7}-2>0. Tiga peserta menjawab dengan benar.

8. Menggunakan algoritma Euclid sebagaimana diminta dalam soal,

2009 =3.504+497\\504 =1.497+7\\497 =41.7

Menilik pada sisa tak-nol terakhir, yaitu 7, disimpulkan bahwa FPB(504,2009) adalah 7. Untuk mencari x,y sehingga 504x+2009y=7, perhatikan bahwa

7 =504-497\\=504-(2009-3.504) \\=4.504-2009

sehingga didapatkan satu solusi untuk \left( x,y\right) , yaitu \left( 4,-1\right) .

Dua orang peserta tidak menjawab sama sekali (bukankah kalian selalu menyatakan telah mengerti tentang algoritma Euclid?). Satu peserta melakukan kesalahan hitung dengan menyatakan 2009=504\times 3+487. Tiga peserta yang lain menjawab dengan benar. Saat soal ini dibuat, saya bahkan tidak menduga bahwa dua bilangan itu tidak relatif prima : angka 504 dan 2009 itu dipilih sebagai tanggal pengerjaan tes.

9. B. Dalam menghadapi soal seperti ini, jelas bahwa kita tidak dituntut untuk menjumlahkan secara manual. Ada dua pendekatan dalam menyelesaikan soal mengenai deret (ingat bahwa level soal ini adalah tingkat kota/kabupaten). Pendekatan pertama adalah dengan menggunakan telescoping, sedangkan pendekatan kedua adalah mencari pola yang dilanjutkan induksi.

Dengan mencari pola, dapat dilihat bahwa

f_{1} =1=f_{2}\\f_{1}+f_{3} =1+2=3=f_{4}\\f_{1}+f_{3}+f_{5} =\left( f_{1}+f_{3}\right) +f_{5}=f_{4}+f_{5}=f_{6}

yang membawa kita pada dugaan bahwa f_{1}+f_{3}+\cdots +f_{2n-1}=f_{2n}. Hal ini dapat dibuktikan dengan mudah menggunakan induksi. Dengan substitusi 2n-1=2009, kita dapatkan deret yang dimaksud senilai dengan f_{2010}.

Saya telah mencoba mengatasi perbedaan persepsi mengenai barisan Fibonacci dengan menuliskannya pada soal. Dengan ini, saya pikir tidak ada alasan untuk salah menginterpretasikan barisan sebagai (misalnya) f_{1}=1,f_{2}=2,f_{3}=3,f_{4}=5 dst. Lebih lanjut, saat awal tes telah ada peserta yang bertanya apakah semua indeks yang dituliskan adalah bilangan ganjil, sehingga saya pikir semakin tidak ada alasan untuk salah menginterpretasikan deret sebagai f_{1}+f_{2}+f_{3}+\ldots +f_{2009}.

Sayangnya, hanya ada satu peserta yang menjawab dengan benar. Itupun ia
menjawab dengan jawaban “a. f_{2010}“, namun saya lebih percaya pada “f_{2010}” dibandingkan pada “a”.

10. C. Ada satu peserta yang tidak menjawab dengan benar. Kembali ke SD?

11. C. Jika \frac{2x}{3}\times \frac{x}{6}=\frac{x^{2}}{9} adalah bilangan bulat, maka pastilah x habis dibagi 3. Apakah harus genap? Masukkan saja x=3, dan tetap dihasilkan bilangan bulat. Satu peserta menjawab b (mungkin karena terpengaruh dengan adanya kata-kata yang bergarisbawah?) sedangkan satu peserta lainnya menjawab d (mungkin karena adanya bentuk \frac{x}{6}?).

12.  C

13. E. Nyatakan waktu dalam hitungan detik sejak pukul 12.00. Maka rentang waktu yang diamati berada pada selang [10800,18000]. Nyatakan pula s sebagai garis yang menggambarkan kondisi jarum pada pukul 12.00. Pada waktu t, maka

a. Jarum jam membentuk sudut h(t)=\frac{t}{120} derajat terhadap s.

b. Jarum menit membentuk sudut m(t)=\frac{t\pmod{3600}}{10} derajat terhadap s.

Kita mencari berapa nilai t yang memenuhi \left\vert h(t)-m(t)\right\vert =30 dalam rentang waktu tersebut. Misalkan ada t yang memenuhi dalam rentang [10800,14400), maka dengan substitusi t=10800+k, didapat

h(t)-m(t) =\frac{t}{120}-\frac{t\pmod{3600}}{10}\\=\frac{10800+k}{120}-\frac{k}{10}\\=90-\frac{11}{120}k

Mudah untuk mengecek bahwa \left\vert 90-\frac{11}{120}k\right\vert =30
tidak memiliki solusi bulat. Dengan cara yang sama, jika t berada dalam rentang [14400,18000], yang setara dengan mencari solusi bulat dari \left\vert 120-\frac{11}{120}k\right\vert =30, akan ditemukan bahwa tidak ada solusi dalam rentang ini. Jadi dalam rentang waktu pukul 15.00 hingga 17.00, tidak pernah jarum jam dan jarum menit membentuk sudut 30^{\circ }.

Perhatikan bahwa soal ini membahas tentang jarum jam dan jarum menit, yang artinya kita membahas jam analog yang bergerak dalam satuan satu detik. Pada saat waktu tes bersisa sekitar 15 menit lagi, saya baru menyadari bahwa soal ini ambigu. Jika kita memiliki sebuah jam analog yang jarum-jarumnya bergerak secara kontinu, maka jawaban dari soal ini adalah C. Sedangkan jika kita menggunakan jam dinding konvensional yang jarum-jarumnya bergerak setiap satu detik sekali, atau jam absen di perkantoran yang jarum-jarumnya bergerak setiap satu menit sekali, maka jawaban dari soal ini adalah E. Saya pikir sudah terlalu terlambat (dan sangat mengganggu) jika saya melakukan koreksi di menit-menit terakhir tes, sehingga saya memutuskan untuk membatalkan soal ini.

Satu peserta menjawab dengan benar, satu peserta menjawab D (saya tidak mengerti mengapa), tiga peserta menjawab C (it’s ok), sedangkan satu peserta lagi menjawab “F. 5”. Jawaban yang terakhir ini menunjukkan ketidakmampuan yang bersangkutan untuk mengerti frasa “Tidak ada yang benar”.

14.  D. Karena suku-suku itu membentuk tiga suku pertama dari sebuah barisan aritmatika, maka berlaku

2\log \left( a^{5}b^{12}\right) =\log \left( a^{3}b^{7}\right) +\log \left( a^{8}b^{15}\right)

Menjabarkan persamaan tersebut akan membawa kita pada kesimpulan bahwa a=b^{2}. Hal ini berarti tiga suku tersebut berturut-turut ekuivalen dengan 13\log b, 22\log b dan 31\log b. Dari sini dapat disimpulkan bahwa suku ke m berbentuk \left( 9m+4\right) \log b, yang ekuivalen dengan \log\left( b^{9m+4}\right) . Jadi 9m+4=2001, yaitu m=223. Tiga peserta menjawab dengan benar.

15. [by Kemal, nyatakan koordinat A\left( x,0,0\right) ,B\left( 0,y,0\right) ,C\left( 0,0,z\right) ] Tanpa mengurangi keumuman, misalkan AB=5, BC=7 dan CA=6.

AB=5\Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}=25\\BC=7\Longleftrightarrow y^{2}+z^{2}=49\\CA =6\Longleftrightarrow x^{2}+z^{2}=36

x^{2}=25-y^{2}\Longrightarrow x^{2}+z^{2}=25-y^{2}+z^{2}=36\Longrightarrow -y^{2}+z^{2}=11. Dari y^{2}+z^{2}=49 dan -y^{2}+z^{2}=11, didapat z^{2}=30. Akibatnya x^{2}=6 dan y^{2}=19. Volume yang diinginkan adalah

\frac{1}{3}[AOC].OB=\frac{1}{3}.\frac{xz}{2}.y\\=\frac{xyz}{6}\\=\frac{\sqrt{6\times 19\times 30}}{6}\\=\sqrt{95}

Hanya satu peserta yang menjawab dengan benar. Salah satu peserta telah menghitung luas segitiga ABC menggunakan Heron, namun tampaknya bingung dalam mencari tinggi piramid, yang ekuivalen dengan mencari jarak O ke bidang ABC. Pada kenyataannya, dalam solusi Kemal dapat dilihat bahwa untuk menyelesaikan soal ini tidak diperlukan formula khusus yang tidak kalian pelajari di sekolah. Apakah soal ini terlalu susah untuk menjadi soal isian singkat tingkat kota/kabupaten?

16. F. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan bahwa a_{5}>a_{4}.
Misalkan dengan asumsi ini, banyaknya kemungkinan adalah S, maka banyaknya
kemungkinan seluruhnya didapatkan dengan mengalikan S dengan 2, yaitu 2S.

Dengan mencoba seluruh kemungkinan untuk \left( a_{5},a_{4}\right) , kita dapatkan  S=3\left( 3!\right) +3\left( 3!-2\right) =30. Jadi banyaknya permutasi yang memenuhi adalah 2S=60. Dua peserta menjawab dengan benar.

17. E. Satu peserta tidak menjawab dengan benar, dan sebaliknya menuliskan sistem persamaan berikut

2x+3y =5\\x\mathrm{\ dan \ }y =1\\x+y =2

Nampaknya peserta yang bersangkutan telah mengubah soal seperti berikut :

Seorang pemain basket berhasil mencetak 5 poin. Jika satu lemparan masuk bernilai 2 atau 3 poin, berapa banyaknya kemungkinan total lemparan masuk yang ia peroleh?

18. Perhatikan gambar berikut

Area yang dimaksud adalah PEQRS

Area yang dimaksud adalah PEQRS

Area yang akan dicari luasnya dinyatakan sebagai area segilima PEQRS. Bagi area tersebut berdasarkan sumbu simetrinya menjadi dua buah trapesium. Untuk itu kita perlu mencari panjang QR. Misalkan QR memotong AB di X, maka $QR=1-XQ=1-BX\tan 60=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Misalkan jarak $E$ ke garis $CD$ adalah $d$, maka d=1-\frac{\sqrt{3}}{2}. Jadi luas trapesium adalah \frac{1}{2}\frac{1}{6}\left( d+QR\right) =\frac{1}{12}\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =\allowbreak \frac{1}{6}-\frac{5}{72}\sqrt{3}, yang berarti luas PEQRS=\frac{1}{36}\left( 12-5\sqrt{3}\right) .

Tidak ada peserta yang menjawab dengan benar. Apakah mungkin hal ini disebabkan karena soal ini telah berada di bagian akhir tes, sehingga peserta susah mengerti maksud kalimat kedua pada soal?

19. \frac{bc+1}{b+c}=a\Longrightarrow a^{2}-1=\left( b-a\right) \left( c-a\right)

Jadi nyatakan a^{2}-1 sebagai hasil kali dua faktor, katakan m dan n. Maka dapat dibuat sistem persamaan

b-a =m\\c-a =n

Yang berarti

b+c=2a+m+n

Agar b+c minimal, maka harus dibuat agar m+n seminimal mungkin. Hal ini dapat dicapai dengan m=-1 dan n=1-a^{2} (Mengapa??). Sehingga b=a-1 dan c=a+1-a^{2}. Cek \frac{\left( a-1\right) \left( a+1-a^{2}\right) +1}{\left( a-1\right) +\left( a+1-a^{2}\right) }=\allowbreak a. Terbukti.

Loh tapi kan bisa juga kita nyatakan a^{2}-1=\left( a-b\right) \left( a-c\right) . Maka dapat dibuat sistem persamaan

a-b=m\\a-c=n

Yang berarti

b+c=2a-m-n

Agar b+c minimal, maka harus dibuat agar m+n semaksimal mungkin. Hal ini dapat dicapai dengan m=1 dan n=a^{2}-1 (Mengapa??). Sehingga b=a-1 dan c=a+1-a^{2}. Hasil ini sama dengan yang didapat sebelumnya. Dalam kasus kita, a=2009, jadi bc=\left( 2009-1\right) \left( 2009+1-2009^{2}\right) =\allowbreak -8100\,414\,568.

Tidak ada peserta yang menjawab dengan benar. Mungkin peserta hanya terbiasa dengan soal “Carilah bilangan asli x,y yang memenuhi x^{2}-y^{2}=p dimana p suatu bilangan prima”. Come on, sudah bukan masanya lagi soal seperti itu. Soal-soal sekarang menuntut siswa untuk lebih kreatif dalam memunculkan bentuk pemfaktoran.

20. D. Nilai-nilai x yang memenuhi adalah \left\{ 1,2,6,7\right\} . Hanya satu siswa yang tidak menjawab dengan benar. Mengapa?

21. Perhatikan bahwa berdasarkan soal nomor 8, peserta seharusnya sadar bahwa 2009 bukanlah bilangan prima. Hal ini menuntut kita untuk mencari faktorisasi dari 2009, yaitu 7^{2}.41. Berikutnya tinggal mencari pangkat terbesar dari 7 dan 41 yang membagi 2009!

\left\lfloor \frac{2009}{7}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{2009}{49}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{2009}{343}\right\rfloor =\allowbreak 333

\left\lfloor \frac{2009}{41}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{2009}{1681}\right\rfloor =50

Karena 50<\frac{333}{2}, maka n terbesar sehingga 2009^{n}|2009!
adalah 50.

Dua peserta menjawab 50, dan mereka menjawab nomor 8 dengan benar.

Satu peserta menjawab 50, padahal ia adalah yang salah mengurangkan pada nomor 8.

Satu peserta menjawab 50, sedangkan ia sama sekali tidak menjawab nomor 8.

Satu peserta tidak mengerjakan sama sekali, padahal ia menjawab nomor 8 dengan benar.

Satu peserta sisanya menyatakan bahwa 2009 adalah bilangan prima, sesuai dengan kenyataan bahwa ia sama sekali tidak menjawab nomor 8.

Lihat pula ini

Written by fusuysamid

8 April, 2009 at 5:15 pm

Posted in math